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高等数学试题

2026年3月28日4 分钟阅读

1.已知 lim⁡x→−∞(4x+ax2−bx−1)=1\lim\limits_{x \to -\infty} (4x + \sqrt{ax^2 - bx - 1}) = 1，其中 a>0a > 0，求 aa 和 bb 的值。

2.函数 f(x)=ln⁡∣1+x∣(ex−1)(x−1)f(x)=\frac{\ln|1+x|}{(e^x - 1)(x - 1)}有 _______个第二类间断点（填阿拉伯数字）。

3.求函数 z=1−(x2a2+y2b2)z = 1 - \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right) 在点 (a2,b2)\left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}} \right) 处，沿曲线 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 在该点的内法线方向的方向导数。

参考解答

第 1 题

令 t=−xt = -x（t→+∞t \to +\infty），原式变为： lim⁡t→+∞(at2+bt−1−4t)=1\lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{at^2 + bt - 1} - 4t \right) = 1

分子有理化： (a−16)t2+bt−1at2+bt−1+4t\frac{(a-16)t^2 + bt - 1}{\sqrt{at^2 + bt - 1} + 4t}

为使极限存在且为有限值，分子中 t2t^2 的系数必须为零，故 a=16a = 16。

代入 a=16a = 16 后： lim⁡t→+∞bt−116t2+bt−1+4t=b8=1\lim_{t \to +\infty} \frac{bt - 1}{\sqrt{16t^2 + bt - 1} + 4t} = \frac{b}{8} = 1

因此 b=8b = 8。

a=16,b=8\boxed{a = 16, \quad b = 8}

第 2 题

函数的间断点为分母为零处：x=−1, 0, 1x = -1,\ 0,\ 1。

  • x=−1x = -1：ln⁡∣1+x∣→−∞\ln|1+x| \to -\infty，分母趋于非零有限值，故为无穷间断点（第二类）。
  • x=0x = 0：ln⁡∣1+x∣∼x\ln|1+x| \sim x，ex−1∼xe^x - 1 \sim x，极限 lim⁡x→0xx⋅(−1)=−1\lim_{x \to 0} \frac{x}{x \cdot (-1)} = -1 存在，故为可去间断点（第一类）。
  • x=1x = 1：分母趋于 00，分子趋于 ln⁡2≠0\ln 2 \neq 0，故为无穷间断点（第二类）。

1\boxed{1}

第 3 题

计算偏导数： ∂z∂x=−2xa2,∂z∂y=−2yb2\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{a^2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{b^2}

在点 (a2,b2)\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right) 处： ∂z∂x=−2a,∂z∂y=−2b\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\sqrt{2}}{a}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\sqrt{2}}{b}

椭圆在该点的外法线方向（梯度方向）为 (2a,2b)\left(\frac{\sqrt{2}}{a}, \frac{\sqrt{2}}{b}\right)，内法线方向为其反方向。单位内法线向量为： n⃗=−11a2+1b2(1a,1b)\vec{n} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}} \left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)

方向导数： ∂z∂n⃗=(−2a,−2b)⋅n⃗=2(1a2+1b2)1a2+1b2=2⋅1a2+1b2\frac{\partial z}{\partial \vec{n}} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{a}, -\frac{\sqrt{2}}{b}\right) \cdot \vec{n} = \frac{\sqrt{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}

∂z∂n⃗=2(a2+b2)ab\boxed{\frac{\partial z}{\partial \vec{n}} = \frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}}{ab}}

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